1.1 Relaciones.
En caso de que resulta una relacion, usaremos la notacion , que se lee “ esta relacionado por con “, o sencillamente “ esta relacionado con “, de indicar el hecho de que . En caso de que diremos que “ nunca esta relacionado por con ” y no ha transpirado usaremos la notacion . Aparte, el total se dira total de partida, y conjunto de advenimiento (o distancia) de .
Sea la trato. Definimos su dominio por , asi como su fama por . El total puede llamarse dibujo sobre la relacion asi como se anota . Seria directo que , No obstante en general no es cierta la igualdad como conjuntos.
Toda accion induce a la relacion. En caso de que es una mision, la conexion asociada es , a donde el comun de pares ordenados esta dado por
Claramente se cumple que , e
Igualdad de relaciones De la definicion de trato igual que la terna, seria directo que 2 relaciones y son iguales ssi . A su ocasion, seria Ademi?s Naturalmente que si , entonces sobre aca que se cumple
1.2 Relaciones donde .
Prototipo importante
Estudiemos las 4 prestaciones anteriores para la trato en tal que
donde es un natural fijo. Esta comunicacion se llama sobre congruencia modulo desplazandolo hacia el pelo si decimos que “ es congruente con modulo “, o que “ es lo mismo a modulo “. Son usuales las notaciones (mod ) o . Simetria Sean tales que . Existe que tratar que . Conocemos que . Sea semejante que . Despejando se posee que , en otras palabras hemos visto un impavido tal que lo que prueba que . Refleja Sea . Es necesario probar que . En otras palabras hay que dar con tal que . Basta recibir , con lo que desplazandolo hacia el pelo se concluye que . Transitividad Sean tales que . Hay que examinar que . Se posee de un cierto , asi como para un cierto . Despues, despejando, se obtiene . Hemos visto un entero igual que , posteriormente . Antisimetria nunca lo es si pues, por ejemplo si , se tiene que y Asimismo No obstante . En caso de que , la conexion es la igualdad en , debido a que nunca es sorprendente que sea Ademi?s antisimetrica. Igualmente esta trato cumple las siguientes propiedades (a) . (b) . En resultado, la hipotesis significa que , para determinados . (a) Sumando estas ecuaciones, obtenemos , sobre en donde sale que . (b) Multiplicando las mismas ecuaciones, obtenemos , de a donde sale que .
Ej La relacion de divisibilidad en es un orden parcial asi como la relacion seria un disciplina total.
1.3 Relaciones de equivalencia.
Recordemos que la conexion en seria de equivalencia ssi es refleja, simetrica asi como transitiva.
Ejemplo Considere la trato sobre congruencia modulo 2 en ( ). En esta conexion seria el conjunto de los pares, seria el comun de los enteros impares, son los impares, . En este ej existen solo 2 clases sobre equivalencia diversas asi como . Observemos que . Igualmente . Caracteristicas
Las 2 propiedades anteriores permiten precisar la particion sobre .
Esto seria, la familia sobre subconjuntos de , 2 a 2 disjuntos, cuya liga es . Sobre forma mas precisa, existe un total sobre subconjuntos no vacios sobre , (que sera la particion sobre ), igual que si entonces (dos a 2 disjuntos) y no ha transpirado
Esta ultima alianza se entiende como sigue
La particion que nos interesa edificar seria la formada por las tipos sobre equivalencia de , en otras palabras,
Este combinado se llama comun cociente sobre , y no ha transpirado se suele anotar Ademi?s igual que .
Ej significativo
De , hallar el grupo cociente de por la relacion de equivalencia , que denotamos por (los “enteros modulo p”). Denotamos a la clase de equivalencia sobre como . Echemos un vistado a primero un par de casos triviales
En caso de que , sabemos que es la igualdad en , desplazandolo hacia el pelo por lo tanto de cada . Luego . En caso de que , entonces seria directo que , debido a que hay la sola especie sobre equivalencia para todos los enteros , asi como (un grupo con un unico elemento).
En seguida supondremos que . Esta es la restriccion que generalmente se impone cuando se usan las congruencias modulo en la praxis. Haremos empleo de la division sobre numeros enteros, que se puede enunciar como sigue Si y , entonces existe una unica pareja sobre enteros , llamados respectivamente cociente desplazandolo hacia el pelo resto sobre la division de por , tales que , desplazandolo hacia el pelo ademas .
Si es un impavido cualquier, dividiendolo por obtenemos , con . Sin embargo esta ecuacion dice que , es decir, que . De aqui que las clases de equivalencia Con El Fin De son solo . Igualmente estas clases son distintas dentro de si, Ya que si , de , por lo tanto . No obstante igual que igualmente , por lo tanto la unicidad sobre la division de por entrega .
Concluimos por lo tanto que , asi como goza de exactamente componentes.
Estructuras Algebraicas
1.4 Leyes de composicion interna
De simplificar la notacion, muchas veces se eliminan inclusive los parentesis sobre la notacion de clases de equivalencia en , escribiendo . Puede Asimismo denotarse el + de igual que y no ha transpirado el sobre igual que . Con estas convenciones, el prototipo 1 seria simplemente la suma asi como el articulo en , y el ejemplo 2 corresponde a la suma en .
1.5 prestaciones basicas de las l.c.i
Patrimonio El neutro, cuando hay, seria unico (y tenemos por lo tanto derecho a hablar sobre el neutro).
En proposito, supongamos que Hay neutros asi como . Seguidamente .
Asociatividad Decimos que la l.c.i. en es asociativa ssi
Elementos inversos Si existe neutro , decimos que posee an igual que inverso, o que es un inverso para ssi
En general, un inverso de nunca seria unico. Cuando sea unico lo denotaremos . Una requisito sobre unicidad es la siguiente,
Hacienda Si https://besthookupwebsites.net/es/apex-review/ goza de neutral y seria asociativa entonces las inversos son unicos.
En fin, sean tales que y . Luego operando por la primera igualdad por la izquierda se obtiene . Como la jurisprudencia es asociativa entonces , sobre lo que deducimos que .
Conmutatividad Decimos que la l.c.i. en seria conmutativa ssi
Supongamos que es una configuracion algebraica asociativa y con neutral